Conceptos básicos de Triángulos en la geometría plana y trigonometría

Introducción:

Los triángulos son una figura geométrica compuesta por tres lados y tres ángulos. A continuación, se presentan las definiciones básicas, elementos, líneas y puntos notables, clasificación, congruencia, semejanza, áreas y relaciones métricas que se pueden aplicar a los triángulos.

Definiciones básicas:

Un triángulo es una figura geométrica plana que está formada por tres segmentos de recta que se unen en tres vértices. Los lados son los segmentos de recta que forman el triángulo, y los vértices son los puntos donde se encuentran los lados. Los ángulos son las aberturas formadas por dos lados del triángulo.

Elementos de todo triángulo:

Lados: son los segmentos de recta que forman el triángulo y se nombran con letras minúsculas (a, b, c).

Vértices: son los puntos donde se encuentran los lados y se nombran con letras mayúsculas (A, B, C).

Ángulos: son las aberturas formadas por dos lados del triángulo y se nombran con letras minúsculas (α, β, γ).

Altura: es la línea perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto.

Mediana: es la línea trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Bisectriz: es la línea que divide un ángulo en dos partes iguales.

Mediatriz: es la línea perpendicular trazada desde el punto medio de un lado hasta su lado opuesto.

Líneas y puntos notables de un triángulo:

Altura: es la línea perpendicular trazada desde un vértice a su lado opuesto. Los tres alturas de un triángulo se intersectan en un punto llamado ortocentro (H).

Mediana: es la línea trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado baricentro (G).

Bisectriz: es la línea que divide un ángulo en dos partes iguales. Las tres bisectrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro (I).

Mediatriz: es la línea perpendicular trazada desde el punto medio de un lado hasta su lado opuesto. Las tres mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro (O).

Clasificación de los triángulos:

Clasificación de los triángulos, según sus lados:

Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales.

Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales y uno diferente.

Triángulo escaleno: tiene todos sus lados diferentes.

Clasificación de los triángulos según sus ángulos:

Triángulo acutángulo: todos sus ángulos son agudos (menores a 90 grados).

Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (mayor a 90 grados).

Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto (igual a 90 grados).

¿Qué es la Congruencia de triángulos?

Dos triángulos son congruentes si tienen los mismos lados y ángulos, aunque pueden estar en posiciones diferentes en el plano. Es decir, si se puede superponer uno sobre el otro y coincidir en todos sus elementos. Se utilizan los símbolos ≅ o cong para indicar la congruencia.

¿Qué es la Semejanza de triángulos?

Dos triángulos son semejantes si tienen los mismos ángulos, pero sus lados pueden tener longitudes diferentes. En otras palabras, son figuras geométricas que tienen la misma forma pero diferentes tamaños. Se utiliza el símbolo ~ para indicar la semejanza. Además, si se conocen las medidas de al menos dos lados de dos triángulos semejantes, se puede establecer una proporción entre las medidas de sus lados correspondientes.

Áreas de los triángulos

El área de un triángulo se puede calcular utilizando la fórmula A = (b*h)/2, donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a esa base. También se puede calcular utilizando la fórmula de Herón, que es una fórmula más general para calcular el área de cualquier tipo de triángulo, que utiliza la longitud de los tres lados del triángulo.

Relaciones métricas de los triángulos

Teorema de Pitágoras: establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es decir, a² + b² = c², donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.

Teorema de la bisectriz: establece que en un triángulo, la bisectriz del ángulo opuesto al lado más largo divide ese lado en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo.

Teorema de la mediana: establece que en un triángulo, la mediana trazada desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto es la mitad de la longitud del lado opuesto.

Teorema de la altura: establece que en un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa divide la hipotenusa en dos segmentos proporcionales a los catetos.

Resumen sobre los triángulos

Los triángulos son una figura geométrica fundamental en matemáticas, y su estudio abarca una gran cantidad de propiedades y teoremas que se aplican en muchos campos, como la física, la ingeniería y la arquitectura. Conociendo las definiciones básicas, elementos, líneas y puntos notables, clasificación, congruencia, semejanza, áreas y relaciones métricas de los triángulos, se puede tener una comprensión más profunda y completa de esta figura geométrica.

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