Ejercicios resueltos de inecuaciones o desigualdades
Inecuaciones o desigualdades
Las inecuaciones son expresiones matemáticas que comparan dos cantidades o expresiones y establecen una relación de desigualdad entre ellas. En este post, vamos a definir qué son las inecuaciones, los tipos de inecuaciones, la forma de solución, su representación gráfica, los intervalos abiertos y cerrados, algunas reglas y ejemplos.
Definición
Una inecuación es una expresión matemática que establece una relación de desigualdad entre dos cantidades o expresiones. En otras palabras, es una expresión que compara dos números o expresiones matemáticas y establece que uno es menor, mayor o diferente del otro.
Tipos de inecuaciones
Existen diferentes tipos de inecuaciones, entre ellas se encuentran:
Inecuaciones lineales: son aquellas en las que la variable a resolver aparece con exponente 1, y tienen la forma ax + b < c o ax + b > c.
Inecuaciones cuadráticas: son aquellas en las que la variable a resolver aparece con exponente 2, y tienen la forma ax^2 + bx + c < 0 o ax^2 + bx + c > 0.
Inecuaciones racionales: son aquellas que involucran fracciones, y tienen la forma (ax + b) / (cx + d) < 0 o (ax + b) / (cx + d) > 0.
Inecuaciones con valor absoluto: son aquellas que involucran el valor absoluto de una expresión, y tienen la forma |ax + b| < c o |ax + b| > c.
Forma de solución
Para resolver una inecuación, se deben seguir los siguientes pasos:
Identificar el tipo de inecuación que se tiene.
Despejar la variable a resolver.
Graficar la solución en una recta numérica.
Identificar el intervalo de solución.
Verificar la solución.
Representación
La solución de una inecuación se puede representar gráficamente en una recta numérica. Para ello, se marca el punto correspondiente a la solución en la recta, y se sombrea el intervalo de solución. Si el intervalo es abierto, se utiliza un paréntesis para indicar que el número no está incluido en la solución. Si el intervalo es cerrado, se utiliza un corchete para indicar que el número está incluido en la solución.
¿Qué es un Intervalo abierto?
Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos. Por ejemplo, el intervalo (2, 5) representa todos los números mayores que 2 y menores que 5, pero no incluye 2 ni 5.
¿Qué es un Intervalo cerrado?
Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos. Por ejemplo, el intervalo [2, 5] representa todos los números mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5.
Reglas de las inecuaciones o desigualdades
Existen algunas reglas que se deben tener en cuenta al resolver inecuaciones:
Si se multiplica o divide ambos lados de la inecuación por un número negativo, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
Si se suma o resta un número a ambos lados de la inecuación, no se debe cambiar el sentido de la desigual.
Si se tiene una inecuación con valor absoluto, se debe separar en dos casos: uno con la expresión dentro del valor absoluto positiva y otro con la expresión dentro del valor absoluto negativa.
Al multiplicar o dividir ambos lados de una inecuación por una expresión que puede ser positiva o negativa, se debe tener en cuenta que si la expresión es negativa, se debe cambiar el sentido de la desigualdad.
Ejemplos de las inecuaciones o desigualdades
- Resolver la inecuación 2x + 3 > 7.
Para resolver esta inecuación, se despeja la variable x:
2x > 4
x > 2
La solución es el intervalo abierto (2, ∞).
- Resolver la inecuación x^2 – 4x + 3 < 0.
Para resolver esta inecuación, se factoriza la expresión:
(x – 1)(x – 3) < 0
La solución es el intervalo abierto (1, 3).
- Resolver la inecuación (2x + 1) / (x – 3) > 0.
Para resolver esta inecuación, se separa en dos casos:
a) (2x + 1) / (x – 3) > 0 cuando x > 3:
2x + 1 > 0
x > -1/2
La solución es el intervalo abierto (-1/2, ∞).
b) (2x + 1) / (x – 3) > 0 cuando x < 3:
2x + 1 < 0
x < -1/2
La solución es el intervalo abierto (-∞, -1/2).
- Resolver la inecuación |3x – 1| ≤ 5.
Para resolver esta inecuación, se separa en dos casos:
a) 3x – 1 ≥ 0:
3x – 1 ≤ 5
x ≤ 2
La solución es el intervalo cerrado (-∞, 2].
b) 3x – 1 < 0:
-(3x – 1) ≤ 5
3x – 1 ≥ -5
x ≥ -4/3
La solución es el intervalo cerrado [-4/3, ∞).
Resumen de las inecuaciones o desigualdades
las inecuaciones son expresiones matemáticas que comparan dos cantidades o expresiones y establecen una relación de desigualdad entre ellas. Existen diferentes tipos de inecuaciones, como las lineales, cuadráticas, racionales y con valor absoluto. Para resolver una inecuación, se deben seguir ciertos pasos, como identificar el tipo de inecuación, despejar la variable a resolver y graficar la solución en una recta numérica. Además, existen intervalos abiertos y cerrados y reglas que se deben tener en cuenta al resolver inecuaciones.
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